Метод на итерация

Лексикон на математиката: итерационни методи

Процеси, които изчисляват решението на задача като гранична стойност на безкрайна поредица от приблизителни решения.

За разлика от това, директните процедури са методи, които (в случай на изчисления без закръгляване) изчисляват точното решение на задачата след краен брой стъпки.

С някои проблеми, напр. Б. при решаване на проблеми със собствена стойност, методите на итерация винаги трябва да се използват за числено решение, тъй като тези проблеми i. обикновено не може да го реши директно.

За други проблеми, напр. Б. може да се използва решението на линейни системи от уравнения Ax = b, директни или итеративни методи. Методите за директно решаване на линейни системи от уравнения обикновено променят дадената матрица на коефициентите А и трансформират първоначалния проблем в такъв, който е по-лесен за решаване. С итеративното решение на линейни системи от уравнения матрицата на коефициентите A не се променя; стъпка на итерация тук често е изпълнението на умножение на матрица-вектор. Докато директните методи изчисляват точното решение на задачата поне теоретично, въпросите за конвергенцията и скоростта на конвергенция са важни за итерационните методи.

Методът на итерация за фиксирани точки представлява особен интерес за числената математика, при който човек разбира метод за итерация за изчисляване на фиксирана точка въз основа на теоремата на Банах за фиксираната точка; вижте също повторени цифри.

И накрая, някои забележки относно поведението на итерационен метод за решаване на уравнение с фиксирана точка T (x) = x в близост до неподвижната точка. Нека \ (M \ subseteq >> ^ \) и \ (T: M \ до >> ^ \) да бъдат картографиране. Ако x * е фиксирана точка на T, итеративният метод \ (_ = T (_) \) с фиксирана начална апроксимация x0 често се използва за определяне на фиксираната точка приблизително. Тогава поведението на решението на процедурата в близост до фиксираната точка може да бъде определено чрез описване на реда на процедурата. Ако има константа c и \ (p \ in> \), така че: \ begin || ^ - ^ || \ le c \ cdot || ^ - ^ | ^

,\ край с 0 ≤ c 1, методът, генериран от T, се нарича метод от порядък p, при условие, че се започва с x0 от подходящ квартал на x *.

Всеки p-ти метод на ред се сближава локално, тоест има квартал U на x *, така че за всеки \ (_ \ в U \) асоциираната итерационна последователност \ (_ = T (_) \) се сближава към x *.

Може да се интересувате и от: Spektrum - Die Woche: 48/2020